PELUANG

Teori Peluang

Peluang merupakan sebuah nilai antara 0 hingga 1 yang menggambarkan kemungkinan pada sebuah peristiwa yang akan terjadi.

• Suatu Eksperimen merupakan pengamatan atas beberapa kegiatan ataupun sebuah pengukuran.
• Suatu hasil merupakan keluaran tertentu dari suatu eksperimen.
• Sebuah kejadian merupakan suatu kumpulan satu hasil atau lebih dari suatu eksperimen.

Beberapa kejadian akan disebut saling bebas apabila kemunculan seebuah kejadian tidak akan memengaruhi kemunculan kejadian yang lainnya.

Dan untuk membahas lebih lanjut mengenai teori peluang, kita akan berikan beberapa hal yang berhubungan teori peluang.

Diantaranya yaitu: kejadian majemuk, aturan perkalian dan faktorial, permutasi, kombinasi dan Binomial Newton, percobaan ruang sampel dan peluang suatu kejadian, serta peluang kejadian majemuk.

Kejadian Majemuk dalam Teori Peluang Matematika

Untuk memahami teori peluang, akan kami berikan ilustrasi agar memudahkan proses pemahaman kalin. Berikut ilustrasinya.

Apabila kalian diperintah oleh ibu kalian untuk  merapikan bola warna-warni yang kalian punya ke dalam kotak mainan.

Tetapi secara tiba-tiba, adik kalian yang masih kecil minta diambilkan bola. Secara acak, kalian akan mengambil kembali bola tersebut kan?.

Nah, peluang terambilnya bola warna biru serta merah kira-kira ada berapa ya guys? Kejadian tersebutlah bisa kita jawab dengan cara mempelajari materi kejadian majemuk di dalam teori peluang matematika.

Kejadian majemuk adalah jika terdapat suatu kejadian atau percobaan yang berlangsung lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru, di mana kejadian baru tersebutlah yang disebut sebagai kejadian majemuk.

Adapun beberapa kejadian yang dikatakan sebagai kejadian majemuk, diantaranya yaitu:

        1. Dua Kejadian Sembarang

Dalam dua kejadian sembarang A serta B dalam ruang sampel S, maka akan berlaku rumus:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Sebagai:

Diketahui dari 45 siswa dalam suatu kelas, terdapat 28 siswa yang suka pada mapel Matematika, 22 siswa suka pada mapel bahasa Inggris, serta sisa 10 siswa suka kedua-duanya.

Diketahui:

• n(S) = 45
• Suka Matematika, n(M) = 28
• Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
• Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Jawab:

• n(S) = 45
• Suka Matematika, n(M) = 28
• Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22
• Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10

Peluang di mana akan terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris adalah:

P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)

= 28/45 + 22/45 – 10/45
            = 40/ 45
            = 8/ 9

               2. Komplemen Suatu Kejadian

                  Adapun rumus untuk mencari komplemen pada suatu kejadian, yaitu:

P (A^c) = 1 – P (A)

   

Sebagai contoh:

Suatu dadu dilempar sekali ke atas, maka hitunglah peluang munculnya mata dadu lebih dari dua.

Jawab:

Suatu dadu dilempar sekali, sehingga n (S) = 6

Apabila A = {mata dadu lebih dari sama dengan 2}

Maka dari itu, A^c = { mata dadu kurang dari atau sama dengan 2 } = {1, 2}, n(A^c) = 2

P (A^c) = n(A^c)/ n(S) = 2/ 6 = 1/ 3

Sehingga, P (A) = 1 – P (A^c)
= 1 – 1/3
= 2/ 3

Sehingga, peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 yaitu 2/3. 

3. Dua Kejadian Saling Lepas

Adapun rumus untuk menentukan dua kejadian saling lepas, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)

 

Contoh:

Pada pelemparan satu dadu bermata 6, berapakah peluang untuk memperoleh dadu dengan mata 1 atau 3 ?

Jawab:

A = {1}, B = {3}

n(A) = 1, n(B) = 1

Peluang untuk memperoleh dadu mata 1 atau 3, yaitu:

P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
P (A ∪ B)  = 1/ 6 + 1/ 6 = 2/ 6 = 1/ 3

4. Dua Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Dirumuskan:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B)

Contoh:

Apabila peluang Gilang bisa menyelesaikan sebuah soal yaitu 0,4 serta peluang Putra bisa menyelesaikan soal yang sama yaitu 0,3 maka peluang mereka berdua bisa menyelesaikan soal tersebut yaitu …

Jawab:

P(A) = 0,4

P(B) = 0,3

Peluang Gilang dan Putra bisa menyelesaikan soal adalah:

P (A ∩ B) = P (A) X P (B) = 0,4 x 0,3 = 0,12

5. Dua Kejadian Bersyarat

Apabila kejadian A serta B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A ataupun kejadian B dengan syarat A, maka dapat kita rumuskan menjadi:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Sebagai contoh:

Suatu dadu dilempar sekali. Hitunglah peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu.

Jawab:

Diketahui;

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
A = Kejadian munculnya angka prima
A = {2, 3, 5}, n(A) = 3

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

B = Kejadian muncul mata dadu ganjil

B = {1, 3, 5}

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

Peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima terlebih dahulu adalah:

P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) = 1/4 / 1/2 = 1/2

Sesudah kalian selesai mempelajari semua peluang kejadian majemuk, maka 

bisa kita simpulkan bahwa:

Rumus Formula Kejadian Majemuk

No.	Jenis Kejadian Majemuk	Rumus
1	Dua Kejadian Sembarang	P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
2	Komplemen Suatu Kejadian	P (Ac) = 1 – P (A)
3	Dua Kejadian Saling Lepas	P (A ∪ B) = P(A) + P (B)
4	Dua Kejadian Saling Bebas	P (A ∩ B) = P (A) X P (B)
5	Dua Kejadian Bersyarat	P(B | A) = P (A ∩ B)/ P(A) atau P (A ∩ B) = P(A) x P(B | A)

Melanjutkan teori peluang, di bawah ini akan kami jelaskan mengenai aturan perkalian dan faktorial, permutasi, kombinasi dan Binomial Newton, percobaan ruang sampel dan peluang suatu kejadian, dan peluang kejadian majemuk. Perhatikan baik-baik ya.

Aturan Perkalian dan Faktorial dalam Teori Peluang

Pernahkah kalian hendak pergi ke suatu tempat, namun ternyata langit mendung, tampak gelap, hingga angin bertiup lebih kencang dari biasanya?

Lalu, kalian berpikir kemungkinan besar sebentar lagi akan turun hujan.

Nah, tanpa kalian sadari, sebetulnya kalian sudah menerapkan teori peluang dalam kehidupan sehari hari lho.

Nah, agar kita lebih paham mengenai teori peluang ini yuk kita pelajari aturan perkalian dan faktorial dalam teori peluang.

Di dalam kita mempelajari teori peluang, kalin juga harus mengetahui tentang kaidah pencacahan.

Yang berarti sebuah ilmu yang berhubugan dengan menentukan atau mencari banyaknya cara suatu percobaan bisa terjadi.

Hal dasar yang harus dapat kalian pahami dalam mempelajari kaidah pencacahan antara lain yaitu aturan perkalian, faktorial, serta permutasi.

A. Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa terjadi dalam m cara serta kejadian kedua bisa terjadi dalam n cara, maka pasangan kejadian bisa terjadi:

Rumus Formula Aturan Perkalian

m x n cara

Keterangan:

m: merupakan kejadian pertaman.
n: merupakan kejadian kedua.

Prinsip ini bisa digenerelasasikan dalam memasukan banyak kejadian yang bisa berlangsung di dalam n₁,n₂,n₃,…n_k cara.

Banyaknya k kejadian bisa berlangsung atau terjadi dalam n₁.n₂.n₃.…n_k cara.

Sebagai contoh:

Gilang memiliki 3 celana berwarna hitam, biru dan juga merah serta memiliki 4 kaos berwarna biru, merah, kuning, dan juga merah muda. Berapa banyak pasang cara Gilang untuk memilih celana serta baju?

Jawab:

n₁ = Kejadian 1 (celana) = 3

n₂ = Kejadian 2 (kaos) = 4

Banyak pasang cara Gilang dalam memilih celana dan baju adalah:

n₁ × n₂ = 3 × 4 = 12 cara.

B. Faktorial 

Dalam pelajaran matematika, faktorial dari bilangan asli n merupakan suatu hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.

Faktorial juga biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf: n! dan dibaca n faktorial.

Bentuk dari faktorial, yakni:

Rumus Formula Faktorial

n! = n . (n -1) . (n – 2) . ….. (n – n + 1)

yang mana, untuk 0! = 1! = 1, sehingga akan menjadi:

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

dan begitu juga seterusnya.

Sebagai contoh:

Tentukan faktorial nilai dari:

1. 10!.3!/ 81.4! =

2. 6! + 4!/ 5! – 7!/ 5! =

Jawab:

Jenis Permutasi 

Sesudah kita belajar mengenai aturan perkalian sera faktorial dalam teori peluang, maka selanjutnya kita akan membahas mengenai permutasi.

Permutasi merupakan suatu susunan unsur berbeda yang terbentuk dari n unsur, diambil dari n unsur ataupun sebagian unsur.

Permutasi bisa dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Dan di dalam kali ini kita akan belajar mengenai jenis permutasi dalam teori peluang. Kira-kira apa saja ya jenis-jenis permutasi tersbut? Selengkapnya simak baik-baik ulasan di bawah ini.

Rumus Formula Permutasi

No.	Jenis Permutasi	Rumus
1	Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen	P(n,n) = n! atau nPn = n!
2	Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur darin elemen r < n.	P(n-r) = nPr = Pnr = n!/ (n – r)!
3	Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q serta r unsur yang sama.	P(n,k1,k2, kt) = n!/ k1!k2! … kt!
4	Permutasi siklis.	nPsiklis = (n – 1)!
5	Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur.	Pn = nk

1. Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah

 P_(n,n) = n! atau _nP_n = n!

Sebagai contoh:

Dalam menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri sebanyak lima negara, panitia akan kemudian memasang kelima bendera dari lima negara yang nantinya akan hadir.

Banyaknya cara panitia dakam menyusun kelima bendera tersebut terdapat berapa cara?

Jawab:

Dari lima bendera yang tersedia, itu artinya n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin adalah:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

2. Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n

Untuk seluruh bilangan positif n serta r, dengan r ≤ n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek dalam satu waktu yaitu:

P_(n-r) = _nP_r = Pⁿ_r = n!/ (n – r)!
*syarat urutan perlu diperhatikan

Contoh:

Banyak cara dalam memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia ialah…

Jawab:

Diketahui:

• Banyak siswa, n = 8
• Ketua, sekretaris serta bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Sehingga:

 

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

Rumus yang digunakan adalah:

P_{(n,k1,k2, kt)} = n!/ k₁!k₂! … k_t!

Keterangan:

n = merupakan banyaknya elemen seluruhnya
k₁ = merupakan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
k₂ = merupakan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
…
k_t = merupakan banyaknya elemen kelompok kt yang sama
t = 1,2,3,…dst.

Sebagai contoh:

Banyaknya cara dalam menyusun dari kata ”BASSABASSI” yaitu…

Jawab:

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf (n) adalah = 10

Diketahui:

k₁ = huruf B = 2
k₂ = huruf A = 3
k₃ = huruf S = 4
k₄ = huruf I = 1

Penyelesaian:

P_(10,2,3,4,2) = 10!/ 2!.3!.4!.2! = 10.9.8.7.6.5.4!/ 2.1.3.2.1.4!.2.1 = 1260 cara.

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis merupakan permutasi melingkar (atau untuk urutan melingkar).

Rumus yang digunakan dalam permutasi siklis adalah:

_nP_siklis = (n – 1)!

Sebagai contoh:

Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi suatu meja bundar, banyaknya cara untuk susunan yang bisa dibuat dari 5 orang tersebut yaitu…

Jawab:

Banyak orang (n) = 5, sehingga:

₅P_siklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Rumus yang digunakan adalah:

 P_n = n^k

Contoh:

Banyaknya susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 ialah…

Jawab:

Banyak susunan 3 bilangan, itu artinya bilangan ratusan, k = 3
Banyak angka yang akan disusun adalah n = 6
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6:

P₆ = 6³ = 216 susunan.

Kombinasi dan Binomial Newton 

Selanjutnya kita akan fokus ke pembahasan kombinasi dan binomial Newton. Dan kita akan bahas satu persatu ya. Simak baik-baik ulasan di bawah ini.

A. Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi pada umumnya dinotasikan seperti:

Cⁿ_r = _nC_r

Untuk seluruh bilangan positif n serta r, dengan r ≤ n r ≤ n, banyaknya kombinasi r objek yang diambil dari n objek dalam waktu yang sama, adalah:

Rumus atau Formula Kombinasi

_nC_r = n!/ (n-r)!r!

Sebagai contoh:

Soal 1.

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket dari 9 orang yaitu…

Jawab:

Diketahui:

Suatu tim basket terdiri atas 5 orang, r = 5
Banyak orang yang bisa dipilih adalah n = 9

Banyak cara untuk memilih pemain inti dari suatu tim basket adalah:

_nC_r= 9!/ (9-5)!5! = 9.8.7.6.5!/ 4!.5! = 9.8.7.6/4.3.2.1 = 126 cara

Soal 2.

Dari total 4 penyanyi sopran serta 5 penyanyi alto akan dipilih empat orang pengurus paduan suara.

Berapa banyak pilihan yang berbeda yang nantinya akan didapatkan apabila dipilih 2 orang penyanyi sopran serta 2 orang penyanyi alto?

Jawab:

Banyaknya cara dalam memilih pengurus paduan suara adalah:

B. Binomial Newton

Binomial Newton merupakan suatu teorema yang menerangkan tentang mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial).

Dalam Binomial Newton memakai koefisien-koefisien (a + b)n.

Sebagai contoh, n = 2 diperoleh dari: (a + b)² = (1) a² + 2ab + (1)b²

Koefisien-koefisien hasil penjabaran (a + b)² merupakan 1, 2, 1 yang senilai dengan C_(2,0) serta C_(2,2) bisa kita tuliskan menjadi:

(a + b)² = C_(2,0) a² + C_(2,1) + ab + C_(2,2) b²

Rumus atau Formula Binomial Newton

Secara umum akan berlaku:

(a + b)² = C_(n,0) a² + C_(n,1) a^n-1 + C_(n,2) a^n-2 + …. + C_(n,r)a^n-r b^r+ C_(n,n) bⁿ

Apabila ditulis dalam notasi sigma, maka akan di dapatkan:

Sebagai contoh:

Suku ke-7 dari (2x + y)¹⁵ yaitu…

Jawab:

Diketahui:

n = 15
r = 7 – 1 = 6

Sehingga:

 

Mengetahui Percobaan, Ruang Sampel, dan Menghitung Peluang Kejadian

Dan yang terakhir dalam teori peluang, kita akan mempelajari mengenai percobaan, ruang sampel dan peluang menghitung  suatu kejadian. Yuk, kita bahas satu persatu, simak baik-baik ya.

A. Percobaan

Sifat dasar percobaan adalah:

1. Pada masing-masing jenis percobaan memiliki kemungkinan hasil atau peristiwa atau kejadian yang akan terjadi.
2. Hasil dari masing-masing percobaan tersebut secara pasti akan sulit ditentukan.

Ilustrasi:

No.	Percobaan	Kemungkinan Hasil
1	Melempar satu keping mata uang logam	Muncul gambar (G) atau angka (A)
2	Melempar satu buah dadu	Muncul mata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

B. Ruang Sampel

       Ruang sampel (S) adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.  Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel, sedangkan kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian.

Banyak ruang sampel disimbolkan dengan n(S).

Sebagai contoh:

Satu buah koin di lempar sebanyak 3 kali, maka dari itu ruang sampel daserta banyaknya sampel dari percobaan pelemparan koin tersebut ialah…

Jawab:

Kemungkinan:

• Koin ke-1 : A A A G A G G G
• Koin ke-2 : A A G A G A G G
• Koin ke-3 : A G A A G G A G

Maka;

S = {(AAA), (AAG), (AGA), (GAA), (AGG), (GAG), (GGA), (GGG)}

n(S) = 8

C. Peluang Kejadian

Sebagai cotoh S merupakan ruang sampel dari sebuah percobaan dengan masing-masing anggota S mempunyai kesempatan muncul yang sama dan K merupakan sebuah kejadian dengan K⊂S, sehingga peluang kejadian K adalah:

Rumus atau Formula Peluang Kejadian

P(K) = n(K) / n(S)

dengan 0 ≤ P(K) ≤ 1,

Ketarangan:

n(K): merupakan banyak anggota dalam kejadian K.
n(S): merupakan banyak anggota dalam himpunan ruang sampel.

Sebagai contoh:

Satu buah dadu dilempar undi satu kali, peluang munculnya angka bilangan prima yaitu…

Jawab:

Diketahui:

• Ruang sampel dadu adalah (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  maka n(S) = 6
• Muncul angka prima adalah (K) = {2, 3, 5} maka n(K) = 3

Sehingga peluang munculnya angka bilangan prima adalah:

P(K) = n(K) / n(S) = 3/ 6 = 1/ 2

D. Peluang komplemen dari suatu kejadian

P(K) merupakan sautu peluang kejadian K dan juga P(Kc) = P(K’) merupakan suatu peluang kejadian bukan K, maka akan berlaku:

Rumus atau Formula Peluang komplemen dari suatu kejadian

P(K) + P(K^c) = 1
P(K^c) = 1 – P(K)

Sebagai contoh:

Peluang Gilang akan lulus ujian Matematika ialah 0,89, sehingga peluang Gilang tidak lulus ujian Matematika yaitu  …

Jawab:

Diketahui:

• K = merupakan kejadian Rina lulus ujian Matematika = 0,89
• Kc = merupakan kejadian Rina tidak lulus ujian Matematika

Peluang Rina tidak lulus ujian Matematika adalah:

P(Kc) = 1 – P(K) = 1 – 0,89 = 0,11

E. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan merupakan banyaknya kejadian yang diharapkan bisa berlangsung atau terjadi pada sebuah percobaan.

Apabila sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali serta  nilai kemungkinan berlangsung kejadian K pada masing-masing percobaan ialah P(K), maka frekuensi harapan kejadian K yaitu:

Rumus atau Formula Frekuensi Harapan

Fh(K) =  n x P(K)

Sebagai contoh:

Satu buah dadu dilempar sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 yaitu …

Jawab:

Diketahui:

• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ↔ n(S) = 6
• K : Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6} ↔ n(A) = 4
• n = Banyak lemparan = 120

Sehingga;

P(K) = n(K) / n(S) = 4/ 6 = 2/ 3

Sehingga frekuensi harapan muncul faktor dari 6 yaitu:

Fh(K) =  n x P(K) = 120 x 2/ 3 = 80 kali.