TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Jika y=sin x maka y’ = cos x

Jika y=cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut ialah ;

y = tan x maka y’ = sec²x
y = cot x maka y’ = – cosec²x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;
Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)

y’= u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka didapatkan ;

 

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri ;

• Jika f(x)= sin x → f ‘(x) = cos x
• Jika f(x)= cos x → f ‘(x) = −sin x
• Jika f(x)= tan x → f ‘(x) = sec2 x
• Jika f(x)= cot x → f ‘(x) = −csc2x
• Jika f(x)= sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
• Jika f(x)= csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1

Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;

• Jika f(x)= sin u → f ‘(x) = cos u . u’
• Jika f(x)= cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
• Jika f(x)= tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
• Jika f(x)= cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
• Jika f(x)= sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
• Jika f(x)= csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2

Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;

• Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
• Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
• Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
• Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
• Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
• Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

Contoh Soal

1. Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =  …..

• 35 sin (5 – 3x)
• – 15 sin (5 – 3x)

Jawab ;

ingat :

 

 maka :

2. Jika f ‘(x) merupakan turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …

• 3 cos( 2x + 1 )
• 6 cos( 2x + 1 )
• 3 sin( 2 x + 1 ) + (6 x – 4) cos (2 x + 1)
• (6x –4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 )
• E. 3 sin( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ).

Jawab ;

kita misalkan terlebih dahulu

 

ingat rumus turunan perkalian dua fungsi ;